Стены

Теорема ферма кто доказал и когда. «Доказана ли Великая теорема Ферма? Великая теорема Ферма: доказательство Уайлса

Файл FERMA-KDVar © Н. М. Козий, 2008

Свидетельство Украины № 27312

КРАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

А n + В n = С n * /1/

где n - целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах A , B , С .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Из формулировки Великой теоремы Ферма следует: если n – целое положительное число, большее двух, то при условии, что два из трех чисел А , В или С - целые положительные числа, одно из этих чисел не является целым положительным числом.

Доказательство строим, исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой о единственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения на простые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показатели степени n . Рассмотрим оба случая.

1. Случай первый: показатель степени n - нечетное число.

В этом случае выражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом:

А n + В n = С n /2/

Полагаем, что A и B – целые положительные числа.

Числа А , В и С должны быть взаимно простыми числами.

Из уравнения /2/ следует, что при заданных значениях чисел A и B множитель ( A + B ) n , С.

Допустим, что число С - целое положительное число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должновыполняться условие:

С n = A n + B n =(A+B) n ∙ D n , / 3/

гдемножитель D n D

Из уравнения /3/ следует:

Из уравнения /3/ также следует, что число [C n = A n + B n ] при условии, что число С ( A + B ) n . Однако известно, что:

A n + B n < ( A + B ) n /5/

Следовательно:

- дробное число, меньшее единицы. /6/

Дробное число.

При нечетных показателях степени n >2 число:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Из анализа уравнения /2/ следует, что при нечетном показателе степени n число:

С n = А n + В n = (A+B)

состоит из двух определенных алгебраических множителей, при этом при любом значении показателя степени n неизменным остаетсяалгебраический множитель ( A + B ).

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетном показателе степени n >2.

2. Случай второй: показатель степени n - четное число.

Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ перепишем следующим образом:

A n = C n - B n /7/

В этом случае уравнение /7/ преобразуется следующим образом:

A n = C n - B n = ( С +B)∙(C n-1 + C n-2 · B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ B n -2 + B n -1 ). /8/

Принимаем, что С и В – целые числа.

Из уравнения /8/ следует, что при заданных значениях чисел B и C множитель (С+ B ) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n , следовательно, он является делителем числа A .

Допустим, что число А – целое число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должновыполняться условие:

А n = С n - B n =(С+ B ) n ∙ D n , / 9/

гдемножитель D n должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /9/ следует:

/10/

Из уравнения /9/ также следует, что число [А n = С n - B n ] при условии, что число А – целое число, должно делиться на число (С+ B ) n . Однако известно, что:

С n - B n < (С+ B ) n /11/

Следовательно:

- дробное число, меньшее единицы. /12/

Дробное число.

Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

При четных показателях степени n >2 число:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах и при четном показателе степени n >2.

Из изложенного следует общий вывод: уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах А, В и С при условии, что показатель степени n >2.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОБОСНОВАНИЯ

В том случае когда показатель степени n – четное число, алгебраическое выражение (C n - B n ) раскладывается на алгебраические множители:

C 2 – B 2 = (C-B) ∙ (C+B); /13/

C 4 – B 4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2);/14/

C 6 – B 6 = (C-B) ∙ (C+B) · (C 2 –CB + B 2) ∙ (C 2 +CB+ B 2); /15/

C 8 – B 8 = (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/

Приведем примеры в числах.

ПРИМЕР 1: В=11; С=35.

C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) = 2 4 · 3 · 23;

C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) = 2 4 · 3 · 23 · 673;

C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) ·(3 · 577) =2 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;

C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) ∙ (2 · 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633.

ПРИМЕР 2: В=16; С=25.

C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) =3 2 ∙ 41 · 881;

C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 · 37) · (3 ∙ 7 · 61) = 3 3 · 7 ∙ 13· 37 ∙ 41 ∙ 61;

C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 ·26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 ·26833.

Из анализа уравнений /13/, /14/, /15/ и /16/ и соответствующих им числовых примеров следует:

При заданном показателе степени n , если он четное число, число А n = С n - B n раскладывается на вполне определенное количество вполне определенных алгебраических множителей;

При любом показателе степени n , если он четное число, в алгебраическом выражении (C n - B n ) всегда имеются множители ( C - B ) и ( C + B ) ;

Каждому алгебраическому множителю соответствует вполне определенный числовой множитель;

При заданных значениях чисел В и С числовые множители могут быть простыми числами или составными числовыми множителями;

Каждый составной числовой множитель является произведением простых чисел, которые частично или полностью отсутствуют в составе других составных числовых множителей;

Величина простых чисел в составе составных числовых множителей увеличивается с увеличением этих множителей;

В состав наибольшего составного числового множителя, соответствующего наибольшему алгебраическому множителю, входит наибольшее простое число в степени, меньшей показателя степениn (чаще всего в первой степени).

ВЫВОДЫ: дополнительные обоснования подтверждают заключение о том, что великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

инженер-механик

n > 2 {\displaystyle n>2} уравнение:

не имеет решений в целых ненулевых числах .

Встречается более узкий вариант формулировки, утверждающий, что это уравнение не имеет натуральных решений. Однако очевидно, что если существует решение для целых чисел, то существует и решение в натуральных числах. В самом деле, пусть a , b , c {\displaystyle a,b,c} - целые числа, дающие решение уравнения Ферма. Если n {\displaystyle n} чётно, то | a | , | b | , | c | {\displaystyle |a|,|b|,|c|} тоже будут решением, а если нечётно, то перенесём все степени отрицательных значений в другую часть уравнения, изменив знак. Например, если бы существовало решение уравнения a 3 + b 3 = c 3 {\displaystyle a^{3}+b^{3}=c^{3}} и при этом a {\displaystyle a} отрицательно, а прочие положительны, то b 3 = c 3 + | a | 3 {\displaystyle b^{3}=c^{3}+|a|^{3}} , и получаем натуральные решения c , | a | , b . {\displaystyle c,|a|,b.} Поэтому обе формулировки эквивалентны.

Обобщениями утверждения теоремы Ферма являются опровергнутая гипотеза Эйлера и открытая гипотеза Ландера - Паркина - Селфриджа .

История

Для случая эту теорему в X веке пытался доказать ал-Ходжанди , но его доказательство не сохранилось.

В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики » Диофанта . Дело в том, что Ферма делал свои пометки на полях читаемых математических трактатов и там же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы. Теорему, о которой ведётся речь, он записал с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги:

Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Оригинальный текст (лат.)
Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Ферма приводит только доказательство, как решение задачи, сводимой к четвёртой степени теоремы n = 4 {\displaystyle n=4} , в 45-м комментарии к «Арифметике» Диофанта и в письме к Каркави (август 1659 года) . Кроме этого, Ферма включил случай n = 3 {\displaystyle n=3} в список задач, решаемых методом бесконечного спуска .

Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков и множество дилетантов-любителей; считается, что теорема стоит на первом месте по количеству некорректных «доказательств». Тем не менее эти усилия привели к получению многих важных результатов современной теории чисел . Давид Гильберт в своём докладе «Математические проблемы» на II Международном конгрессе математиков (1900) отметил, что поиск доказательства для этой, казалось бы, малозначимой теоремы привёл к глубоким результатам в теории чисел . В 1908 году немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100 тыс. немецких марок тому, кто докажет теорему Ферма. Однако после Первой мировой войны премия обесценилась .

В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла , доказанной Фальтингсом в 1983 году , следует, что уравнение a n + b n = c n {\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}} при n > 3 {\displaystyle n>3} может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Немецкий математик Герхард Фрай предположил, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы - Симуры . Это предположение было доказано Кеном Рибетом .

Последний важный шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в сентябре 1994 года . Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics » .

Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после семи лет работы), но в нём вскоре был обнаружен серьёзный [какой? ] пробел, который с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось достаточно быстро устранить . В 1995 году был опубликован завершающий вариант . В 2016 году за доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлс получил Абелевскую премию .

Колин Мак-Ларти отметил, что, возможно, доказательство Уайлса удастся упростить, чтобы не предполагать существования так называемых «больших кардиналов » .

Теорема Ферма также тривиально следует из abc-гипотезы , о доказательстве которой заявил японский математик Синъити Мотидзуки ; его доказательство отличается исключительной сложностью. В настоящее время в математическом сообществе нет ясного консенсуса в отношении его работ .

Некоторые вариации и обобщения

2682440 4 + 15365639 4 + 18796760 4 = 20615673 4 . {\displaystyle 2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}=20615673^{4}.}

Позднее были найдены и другие решения; простейшее из них:

95800 4 + 217519 4 + 414560 4 = 422481 4 . {\displaystyle 95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}.}

Ещё одним популярным обобщением теоремы Ферма является гипотеза Била , сформулированная в 1993 году американским математиком-любителем, пообещавшим за её доказательство или опровержение 1 млн долларов США.

«Ферматисты»

Простота формулировки теоремы Ферма (доступная в понимании даже школьнику), а также сложность единственного известного доказательства (или неведение о его существовании), вдохновляют многих на попытки найти другое, более простое, доказательство. Людей, пытающихся доказать теорему Ферма элементарными методами, называют «ферматистами » или «ферматиками». Ферматисты зачастую не являются профессионалами и допускают ошибки в арифметических действиях или логических выводах , хотя некоторые представляют весьма изощрённые «доказательства», в которых трудно найти ошибку.

Доказывать теорему Ферма в среде любителей математики было настолько популярно, что в 1972 году журнал «Квант» , публикуя статью о теореме Ферма, сопроводил её следующей припиской : «Редакция „Кванта“ со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут».

Немецкому математику Эдмунду Ландау очень докучали «ферматисты». Чтобы не отвлекаться от основной работы, он заказал несколько сот бланков с шаблонным текстом, сообщающим, что на определённой строке на некоторой странице находится ошибка, при этом находить ошибку и заполнять пробелы в бланке он поручал своим аспирантам.

Примечательно, что отдельные ферматисты добиваются публикации своих (неверных) «доказательств» в ненаучной прессе, которая раздувает их значение до научной сенсации . Впрочем, иногда такие публикации появляются и в уважаемых научных изданиях , как правило, с последующими опровержениями . Среди других примеров:

Теорема Ферма в культуре и искусстве

Великая теорема Ферма стала символом труднейшей научной проблемы и в этом качестве часто упоминается в беллетристике. Далее перечислены некоторые произведения, в которых теорема не просто упомянута, но является существенной частью сюжета или идеологии произведения.

В рассказе Артура Порджеса «Саймон Флэгг и дьявол» профессор Саймон Флегг обращается за доказательством теоремы к дьяволу. По этому рассказу снят игровой научно-популярный фильм «Математик и чёрт» (СССР, , производство Центрнаучфильм, творческое объединение «Радуга», режиссёр Райтбурт).
- Экранизация: короткометражка «Математик и чёрт» (1972).
А. П. Казанцев в романе «Острее шпаги» в 1983 году предложил оригинальную версию отсутствия доказательства самого Пьера Ферма.
В телесериале «Звёздный Путь » капитан космического корабля Жан-Люк Пикар был озадачен разгадкой Великой теоремы Ферма во второй половине XXIV века . Таким образом, создатели фильма предполагали, что решения у Великой теоремы Ферма не будет в ближайшие 400 лет. Серия «Рояль » с этим эпизодом была снята в 1989 году , когда Эндрю Уайлс был в самом начале своих работ. В действительности решение было найдено всего спустя пять лет.
В посвящённой Хэллоуину 1995 года серии «Симпсонов » двумерный Гомер Симпсон случайно попадает в третье измерение. Во время его путешествия в этом странном мире в воздухе парят геометрические тела и математические формулы, включая неверное равенство 1782 12 + 1841 12 = 1922 12 {\displaystyle 1782^{12}+1841^{12}=1922^{12}} . Калькулятор с точностью не более 10 значащих цифр подтверждает это равенство: 1782 12 + 1841 12 = 2 541 210 258 614 589 176 288 669 958 142 428 526 657 ≈ 2,541 210 259 ⋅ 10 39 , 1922 12 = 2 541 210 259 314 801 410 819 278 649 643 651 567 616 ≈ 2,541 210 259 ⋅ 10 39 . {\displaystyle {\begin{array}{cl}1782^{12}+1841^{12}&=2\,541\,210\,258\,614\,589\,176\,288\,669\,958\,142\,428\,526\,657\approx 2{,}541\,210\,259\cdot 10^{39},\\1922^{12}&=2\,541\,210\,259\,314\,801\,410\,819\,278\,649\,643\,651\,567\,616\approx 2{,}541\,210\,259\cdot 10^{39}.\end{array}}}

Тем не менее, даже без вычисления точных значений легко видеть, что равенство неверно: левая часть - нечётное число , а правая часть - чётное.

В первом издании «Искусства программирования » Дональда Кнута теорема Ферма приведена в качестве упражнения с математическим уклоном в самом начале книги и оценена максимальным числом (50) баллов, как «исследовательская проблема, которая (насколько это было известно автору в момент написания) ещё не получила удовлетворительного решения. Если читатель найдет решение этой задачи, его настоятельно просят опубликовать его; кроме того, автор данной книги будет очень признателен, если ему сообщат решение как можно быстрее (при условии, что оно правильно)». В третьем издании книги это упражнение уже требует знаний высшей математики и оценивается лишь в 45 баллов.
В книге Стига Ларссона «Девушка, которая играла с огнём » главная героиня Лисбет Саландер, обладающая редкими способностями к аналитике и фотографической памятью, в качестве хобби занята доказательством Великой теоремы Ферма, на которую она наткнулась, читая фундаментальный труд «Измерения в математике», в котором приводится и доказательство Эндрю Уайлса. Лисбет не хочет изучать готовое доказательство, а главным интересом становится поиск собственного решения. Поэтому всё своё свободное время она посвящает самостоятельному поиску «замечательного доказательства» теоремы великого француза, но раз за разом заходит в тупик. В конце книги Лисбет находит доказательство, которое не только совершенно отлично от предложенного Уайлсом, но и является настолько простым, что сам Ферма мог бы его найти. Однако после ранения в голову она его забывает, и Ларссон не приводит никаких подробностей этого доказательства.
Мюзикл «Последнее танго Ферма», изданный , создан в 2000 году Джошуа Розенблюмом (англ. Joshua Rosenblum ) и Джоан Лесснер по мотивам реальной истории Эндрю Уайлса. Главный герой по имени Дэниел Кин завершает доказательство теоремы, а дух самого Ферма старается ему помешать .
За несколько дней до своей смерти Артур Кларк успел отрецензировать рукопись романа «Последняя Теорема », над которой он трудился в соавторстве с Фредериком Полом . Книга вышла уже после смерти Кларка.

Примечания

Ферма теорема // Математическая энциклопедия (в 5 томах) . - М. : Советская Энциклопедия , 1985. - Т. 5.
Diophantus of Alexandria. Arithmeticorum libri sex, et de numeris multangulis liber unus. Cum commentariis C.G. Bacheti V.C. & observationibus D.P. de Fermat senatoris Tolosani. Toulouse, 1670, pp. 338-339.
Fermat a Carcavi. Aout 1659. Oeuvres de Fermat. Tome II. Paris: Tannery & Henry, 1904, pp. 431-436.
Ю. Ю. Мачис. О предполагаемом доказательстве Эйлера // Математические заметки. - 2007. - Т. 82 , № 3 . - С. 395-400 . Английский перевод: J. J. Mačys. On Euler’s hypothetical proof (англ.) // Mathematical Notes : journal. - 2007. - Vol. 82 , no. 3-4 . - P. 352-356 . - DOI :10.1134/S0001434607090088 .
Давид Гильберт. Математические проблемы :

Проблема доказательства этой неразрешимости являет разительный пример того, какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первый взгляд малозначительная проблема. Ибо, побуждённый задачей Ферма, Куммер пришёл к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители - теоремы, которая теперь, благодаря обобщениям на любую алгебраическую числовую область, полученным Дедекиндом и Кронекером , является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций.
Соловьев Ю.П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма // Соросовский образовательный журнал . - ISSEP, 1998. - Т. 4 , № 2 . - С. 135-138 .
Wiles, Andrew. Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem (англ.) // Annals of Mathematics : journal. - 1995. - Vol. 141 , no. 3 . - P. 443-551 . (англ.)

Что премию Абеля в 2016 году получит Эндрю Уайлз за доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры для полустабильных эллиптических кривых и следующее из этой гипотезы доказательство великой теоремы Ферма. В настоящее время премия составляет 6 миллионов норвежских крон, то есть примерно 50 миллионов рублей. По словам Уайлса, присуждение премии стало для него «полной неожиданностью».

Теорема Ферма, доказанная более 20 лет назад, до сих пор привлекает внимание математиков. Отчасти, это связано с ее формулировкой, которая понятна даже школьнику: доказать, что для натуральных n>2 не существует таких троек целых ненулевых чисел, что a n + b n = c n . Это выражение Пьер Ферма записал на полях «Арифметики» Диофанта, снабдив замечательной подписью «Я нашёл этому поистине чудесное доказательство [этого утверждения], но поля книги слишком узки для него». В отличие от большинства математических баек, эта - настоящая.

Вручение премии - прекрасный повод вспомнить десять занимательных историй, связанных с теоремой Ферма.

1.

До того, как Эндрю Уайлз доказал теорему Ферма, ее правильнее было называть гипотезой, то есть гипотезой Ферма. Дело в том, что теорема - это по определению уже доказанное утверждение. Однако, почему-то к этому утверждению приклеилось именно такое название.

2.

Если в теореме Ферма положить n = 2, то у такого уравнения существует бесконечно много решений. Эти решения называются «пифагоровы тройки». Такое название они получили потому, что им соответствуют прямоугольные треугольники, стороны которых выражаются именно такими наборами чисел. Генерировать пифагоровы тройки можно с помощью таких вот трех формул (m 2 - n 2 , 2mn, m 2 + n 2). В эти формулы надо подставлять разные значения m и n, и в результате будут получаться нужные нам тройки. Главное тут, впрочем, убедиться, что полученные числа будут больше нуля - длины не могут выражаться отрицательными числами.

Кстати, легко заметить, что если все числа в пифагоровой тройке умножить на некоторое ненулевое, получится новая пифагорова тройка. Поэтому разумно изучать тройки, в которых у трех чисел в совокупности нет общего делителя. Схема, которую мы описали, позволяет получить все такие тройки - это уже совсем не простой результат.

3.

1 марта на 1847 года заседании Парижской академии наук сразу два математика - Габриэль Ламе и Огюстен Коши - объявили, что находятся на пороге доказательства замечательной теоремы. Они устроили гонку, публикуя кусочки доказательства. Большинство академиков болело за Ламе, поскольку Коши был самодовольным, нетерпимым к чужому мнению религиозным фанатиком (и, разумеется, совершенно блестящим математиком по совместительству). Однако, матчу не суждено было завершиться - через своего друга Жозефа Лиувилля немецкий математик Эрнст Куммер сообщил академикам, что в доказательствах Коши и Ламе есть одна и та же ошибка.

В школе доказывается, что разложение числа на простые множители единственно. Оба математика полагали, что если смотреть на разложение целых чисел уже в комплексном случае, то это свойство - единственность - сохранится. Однако это не так.

Примечательно, что если рассматривать только m + i n, то разложение единственно. Такие числа называются гауссовыми. Но для работы Ламе и Коши потребовалось разложение на множители в циклотомических полях . Это, например, числа, в которых m и n - рациональные, а i удовлетворяет свойству i^k = 1.

4.

Теорема Ферма для n = 3 имеет понятный геометрический смысл. Представим себе, что у нас есть много маленьких кубиков. Пусть мы собрали из них два больших куба. В этом случае, понятное дело, стороны будут целыми числами. Можно ли найти два таких больших куба, что, разобрав их на составляющие мелкие кубы, мы бы могли собрать из них один большой куб? Теорема Ферма говорит, что так сделать никогда нельзя. Забавно, что если задать тот же вопрос для трех кубов, то ответ утвердительный. Например, есть вот такая четверка чисел, открытая замечательным математиком Шринивасом Рамануджаном:

3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3

5.

В истории с теоремой Ферма отметился Леонард Эйлер. Доказать утверждение (или даже подступиться к доказательству) у него толком не получилось, однако он сформулировал гипотезу о том, что уравнение

x 4 + y 4 + z 4 = u 4

не имеет решения в целых числах. Все попытки найти решение такого уравнения в лоб оказались безрезультатны. Только в 1988 году Науму Элкиесу из Гарварда удалось найти контрпример. Он выглядит вот так:

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4 .

Обычно эту формулу вспоминают в контексте численного эксперимента. Как правило, в математике это выглядит так: есть некоторая формула. Математик проверяет эту формулу в простых случаях, убеждается в истинности и формулирует некоторую гипотезу. Затем он (хотя чаще какой-нибудь его аспирант или студент) пишет программу для того, чтобы проверить, что формула верна для достаточно больших чисел, которые руками не посчитать (про один такой эксперимент с простыми числами мы ). Это не доказательство, конечно, но отличный повод заявить о гипотезе. Все эти построения базируются на разумном предположении, что, если к некоторой разумной формуле есть контрпример, то мы найдем его достаточно быстро.

Гипотеза Эйлера напоминает, что жизнь гораздо разнообразнее наших фантазий: первый контрпример может быть сколь угодно большим.

6.

На самом деле, конечно, Эндрю Уайлз не пытался доказать теорему Ферма - он решал более сложную задачу под названием гипотеза Таниямы-Шимуры. В математике есть два замечательных класса объектов. Первый называется модулярными формами и представляет собой по сути функции на пространстве Лобачевского. Эти функции не меняются при движениях этой самой плоскости. Второй называется «эллиптическими кривыми и представляет собой кривые, задаваемые уравнением третьей степени на комплексной плоскости. Оба объекта очень популярны в теории чисел.

В 50-х годах прошлого века два талантливых математика Ютака Танияма и Горо Шимура познакомились в библиотеке Токийского университета. В то время особой математики в университете не было: она просто не успела восстановиться после войны. В результате ученые занимались по старым учебникам и разбирали на семинарах задачи, которые в Европе и США считались решенными и не особенно актуальными. Именно Танияма и Шимура обнаружили, что между модулярными формами и эллиптическими функциями есть некое соответствие.

Свою гипотезу они проверили на некоторых простых классах кривых. Оказалось, что она работает. Вот они и предположили, что эта связь есть всегда. Так появилась гипотеза Таниямы-Шимуры, а спустя три года Танияма покончил с собой. В 1984 году немецкий математик Герхард Фрей показал, что если теорема Ферма неверна, то, следовательно, неверна гипотеза Таниямы-Шимуры. Из этого вытекало, что доказавший эту гипотезу, докажет и теорему. Именно это и сделал - правда не совсем в общем виде - Уайлз.

7.

На доказательство гипотезы Уайлз потратил восемь лет. И во время проверки рецензенты нашли в ней ошибку, которая «убивала» большую часть доказательства, сводя на нет все годы работы. Один из рецензентов по имени Ричард Тейлор взялся заделать вместе с Уайлзом эту дырку. Пока они работали, появилось сообщение, что Элкиес, тот самый, который нашел контрпример к гипотезе Эйлера, нашел и контрпример и к теореме Ферма (позже оказалось, что это была первоапрельская шутка). Уайлз впал в депрессию и не хотел продолжать - дырка в доказательстве никак не закрывалась. Тейлор уговорил Уайлза побороться еще месяц.

Случилось чудо и к концу лета математикам удалось сделать прорыв - так на свет появились работы «Модулярные эллиптические кривые и великая теорема Ферма» Эндрю Уайлза (pdf) и «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке» Ричарда Тейлора и Эндрю Уайлза. Это было уже правильное доказательство. Опубликовано оно было в 1995 году.

8.

В 1908 году в Дармштадте скончался математик Пауль Вольфскель. После себя он оставил завещание, в котором давал математическому сообществу 99 лет, чтобы найти доказательство великой теоремы Ферма. Автор доказательства должен был получить 100 тысяч марок (автор контрпримера, кстати, не получил бы ничего). Согласно распространенной легенде, сделать такой подарок математикам Вольфскеля побудила любовь. Вот как описывает легенду Саймон Сингх в своей книге «Великая теорема Ферма »:

История начинается с того, что Вольфскель увлекся красивой женщиной, личность которой так никогда и не была установлена. К великому сожалению для Вольфскеля, загадочная женщина отвергла его. Он впал в такое глубокое отчаяние, что решил совершить самоубийство. Вольфскель был человеком страстным, но не импульсивным, и поэтому принялся во всех подробностях разрабатывать свою смерть. Он назначил дату своего самоубийства и решил выстрелить себе в голову с первым ударом часов ровно в полночь. За оставшиеся дни Вольфскель решил привести в порядок свои дела, которые шли великолепно, а в последний день составил завещание и написал письма близким друзьям и родственникам.

Вольфскель трудился с таким усердием, что закончил все свои дела до полуночи и, чтобы как-нибудь заполнить оставшиеся часы, отправился в библиотеку, где стал просматривать математические журналы. Вскоре ему на глаза попалась классическая статья Куммера, в которой тот объяснял, почему потерпели неудачу Коши и Ламе. Работа Куммера принадлежала к числу самых значительных математических публикаций своего века и как нельзя лучше подходила для чтения математику, задумавшему совершить самоубийство. Вольфскель внимательно, строка за строкой, проследил за выкладками Куммера. Неожиданно Вольфскелю показалось, что он обнаружил пробел: автор сделал некое предположение и не обосновал этот шаг в своих рассуждениях. Вольфскель заинтересовался, действительно ли ему удалось обнаружить серьезный пробел, или сделанное Куммером предположение было обоснованным. Если был обнаружен пробел, то имелся шанс, что Великую теорему Ферма удастся доказать гораздо проще, чем полагали многие.

Вольфскель сел за стол, тщательно проанализировал «ущербную» часть рассуждений Куммера и принялся набрасывать минидоказательство, которое должно было либо подкрепить работу Куммера, либо продемонстрировать ошибочность принятого им предположения и, как следствие, опровергнуть все его доводы. К рассвету Вольфскель закончил свои вычисления. Плохие (с точки зрения математики) новости состояли в том, что доказательство Куммера удалось исцелить, и Великая теорема Ферма по-прежнему осталась недоступной. Но были и хорошие новости: время, назначенное для самоубийства, миновало, а Вольфскель был так горд тем, что ему удалось обнаружить и восполнить пробел в работе великого Эрнеста Куммера, что его отчаяние и печаль развеялись сами собой. Математика вернула ему жажду жизни.

Впрочем, есть и альтернативная версия. Согласно ей, Вольфскель занялся математикой (и, собственно, теоремой Ферма) из-за прогрессирующего рассеянного склероза, который помешал заниматься ему любимым делом - быть врачом. А деньги математикам он оставил, чтобы не оставлять своей жене, которую к концу жизни просто ненавидел.

9.

Попытки доказать теорему Ферма элементарными методами привели к появлению целого класса странных людей под названием «ферматисты». Они занимались тем, что производили огромное количество доказательств и совершенно не отчаивались, когда в этих доказательствах находили ошибку.

На мехмате МГУ был легендарный персонаж по фамилии Добрецов. Он собирал справки из разных ведомств и, пользуясь ими, проникал на мехмат. Делалось это исключительно для того, чтобы найти жертву. Как-то ему попался молодой аспирант (будущий академик Новиков). Он, по наивности своей, принялся внимательно изучать стопку бумаг, которую Добрецов подсунул ему со словами, мол, вот доказательство. После очередного «вот ошибка...» Добрецов забрал стопку, запихнул ее в портфель. Из второго портфеля (да, он ходил по мехмату с двумя портфелями) он достал вторую стопку, вздохнул и сказал: «Ну тогда посмотрим вариант 7 Б».

Кстати, большинство таких доказательств начинается с фразы «Перенесем одно из слагаемых в правую часть равенства и разложим на множители».

10.

Рассказ о теореме будет неполон без замечательного фильма «Математик и черт».

Поправка

В разделе 7 этой статьи первоначально говорилось, что Наум Элкиес нашел контрпример к теореме Ферма, который впоследствии оказался ошибочным. Это неверно: сообщение о контрпримере было первоапрельской шуткой. Приносим извинения за неточность.

Андрей Коняев

Итак, Великая теорема Ферма (нередко называемая последней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестящим французским математиком Пьером Ферма, очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образованием. Она гласит, что формула а в степени n + b в степени n = c в степени n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2. Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.

Почему она так знаменита? Сейчас узнаем...

Мало ли доказанных, недоказанных и пока не доказанных теорем? Тут все дело в том, что Великая теорема Ферма являет собой самый большой контраст между простотой формулировки и сложностью доказательства. Великая теорема Ферма – задача невероятно трудная, и тем не менее ее формулировку может понять каждый с 5-ю классами средней школы, а вот доказательство – даже далеко не всякий математик-профессионал. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии, ни в той же математике нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто, но оставалась нерешенной так долго. 2. В чем же она состоит?

Начнем с пифагоровых штанов Формулировка действительно проста – на первый взгляд. Как известно нам с детства, «пифагоровы штаны на все стороны равны». Проблема выглядит столь простой потому, что в основе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно, – теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.

В V веке до н.э. Пифагор основал пифагорейское братство. Пифагорейцы, помимо прочего, изучали целочисленные тройки, удовлетворяющие равенству x²+y²=z². Они доказали, что пифагоровых троек бесконечно много, и получили общие формулы для их нахождения. Наверное, они пробовали искать тройки и более высоких степеней. Убедившись, что это не получается, пифагорейцы оставили бесполезные попытки. Члены братства были больше философами и эстетами, чем математиками.

То есть легко подобрать множество чисел, которые прекрасно удовлетворяют равенству x²+y²=z²

Начиная с 3, 4, 5 – действительно, младшекласснику понятно, что 9+16=25.

Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Замечательно.

Ну и так далее. А если взять похожее уравнение x³+y³=z³ ? Может, тоже есть такие числа?

И так далее (рис.1).

Так вот, оказывается, что их НЕТ. Вот тут начинается подвох. Простота – кажущаяся, потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, отсутствие. Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение.

Доказать отсутствие сложнее: например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? легко: бац – а вот оно, решение! (приведите решение). И все, оппонент сражен. А как доказать отсутствие?

Сказать: «Я не нашел таких решений»? А может, ты плохо искал? А вдруг они есть, только очень большие, ну очень, такие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силенок? Вот это-то и сложно.

В наглядном виде это можно показать так: если взять два квадратика подходящих размеров и разобрать на единичные квадратики, то из этой кучки единичных квадратиков получается третий квадратик (рис. 2):

А проделаем то же с третьим измерением (рис. 3) – не получается. Не хватает кубиков, или остаются лишние:

А вот математик XVII века француз Пьер де Ферма с увлечением исследовал общее уравнение x n +y n =z n . И, наконец, сделал вывод: при n>2 целочисленных решений не существует. Доказательство Ферма безвозвратно утеряно. Рукописи горят! Осталось лишь его замечание в «Арифметике» Диофанта: «Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его».

Вообще-то, теорема без доказательства называется гипотезой. Но за Ферма закрепилась слава, что он никогда не ошибается. Даже если он не оставлял доказательства какого-нибудь утверждения, впоследствии оно подтверждалось. К тому же, Ферма доказал свой тезис для n=4. Так гипотеза французского математика вошла в историю как Великая теорема Ферма.

После Ферма над поиском доказательства работали такие великие умы, как Леонард Эйлер (в 1770 году им было предложено решение для n = 3),

Адриен Лежандр и Иоганн Дирихле (эти ученые в 1825 году совместно нашли доказательство для n = 5), Габриель Ламе (нашедший доказательство для n = 7) и многие другие. К середине 80-х годов прошлого века стало понятно, что ученый мир находится на пути к окончательному решению Великой теоремы Ферма, однако только в 1993 году математики увидели и поверили, что трехвековая эпопея по поиску доказательства последней теоремы Ферма практически закончилась.

Легко показывается, что теорему Ферма достаточно доказать только для простых n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … При составных n доказательство остаётся в силе. Но и простых чисел бесконечно много…

В 1825 году, применив метод Софи Жермен, женщины-математика, Дирихле и Лежандр независимо друг от друга доказали теорему для n=5. В 1839 году тем же методом француз Габриель Ламе показал истинность теоремы для n=7. Постепенно теорему доказали почти для всех n, меньших ста.

Наконец, немецкий математик Эрнст Куммер в блестящем исследовании показал, что методами математики XIX века теорему в общем виде доказать нельзя. Премия Французской Академии Наук, учреждённая в 1847 году за доказательство теоремы Ферма, осталась невручённой.

В 1907 году богатый немецкий промышленник Пауль Вольфскель из-за неразделённой любви решил свести счёты с жизнью. Как истинный немец он назначил дату и время самоубийства: ровно в полночь. В последний день он составил завещание и написал письма друзьям и родственникам. Дела закончились раньше полночи. Надо сказать, что Пауль интересовался математикой. От нечего делать он пошёл в библиотеку и принялся читать знаменитую статью Куммера. Неожиданно ему показалось, что Куммер в ходе рассуждений совершил ошибку. Вольфскель стал с карандашом в руках разбирать это место статьи. Полночь миновала, наступило утро. Пробел в доказательстве был восполнен. Да и сам повод для самоубийства теперь выглядел совершенно нелепым. Пауль разорвал прощальные письма и переписал завещание.

Вскоре он умер естественной смертью. Наследники были изрядно удивлены: 100 000 марок (более 1 000 000 нынешних фунтов стерлингов) передавались на счёт Королевского научного общества Гёттингена, которое в том же году объявило о проведении конкурса на соискание премии Вольфскеля. 100 000 марок полагались доказавшему теорему Ферма. За опровержение теоремы не полагалось ни пфеннига…

Большинство профессиональных математиков считали поиск доказательства Великой теоремы Ферма безнадёжным делом и решительно отказывались тратить время на такое бесполезное занятие. Зато любители порезвились на славу. Через несколько недель после объявления на Гёттингенский университет обрушилась лавина «доказательств». Профессор Э. М. Ландау, в обязанность которого входил разбор присланных доказательств, раздал своим студентам карточки:

Уважаемый(ая) . . . . . . . .

Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. ... в строке... . Из-за неё всё доказательство утрачивает силу.
Профессор Э. М. Ландау

В 1963 году Пауль Коэн, опираясь на выводы Гёделя, доказал неразрешимость одной из двадцати трех проблем Гильберта — гипотезы континуума. А что, если Великая теорема Ферма тоже неразрешима?! Но истинных фанатиков Великой теоремы это ничуть не разочаровало. Появление компьютеров неожиданно дало математикам новый метод доказательства. После Второй мировой войны группы программистов и математиков доказали Великую теорему Ферма при всех значениях n до 500, затем до 1 000, а позже до 10 000.

В 80-е годы Сэмюэль Вагстафф поднял предел до 25 000, а в 90-ых математики заявили, что Великая теорема Ферма верна при всех значениях n до 4 миллионов. Но если от бесконечности отнять даже триллион триллионов, она не станет меньше. Математиков не убеждает статистика. Доказать Великую теорему значило доказать её для ВСЕХ n, уходящих в бесконечность.

В 1954 году два молодых японских друга-математика занялись исследованием модулярных форм. Эти формы порождают ряды чисел, каждая - свой ряд. Случайно Танияма сравнил эти ряды с рядами, порождаемыми эллиптическими уравнениями. Они совпадали! Но модулярные формы – геометрические объекты, а эллиптические уравнения – алгебраические. Между столь разными объектами никогда не находили связи.

Тем не менее, друзья после тщательной проверки выдвинули гипотезу: у каждого эллиптического уравнения существует двойник – модулярная форма, и наоборот. Именно эта гипотеза стала фундаментом целого направления в математике, но до тех пор, пока гипотеза Таниямы–Симуры не была доказана, всё здание могло рухнуть в любой момент.

В 1984 году Герхард Фрей показал, что решение уравнения Ферма, если оно существует, можно включить в некоторое эллиптическое уравнение. Двумя годами позже профессор Кен Рибет доказал, что это гипотетическое уравнение не может иметь двойника в модулярном мире. Отныне Великая теорема Ферма была нерасторжимо связана с гипотезой Таниямы–Симуры. Доказав, что любая эллиптическая кривая модулярна, мы делаем вывод, что эллиптического уравнения с решением уравнения Ферма не существует, и Великая теорема Ферма была бы тотчас же доказана. Но в течение тридцати лет доказать гипотезу Таниямы–Симуры не удавалось, и надежд на успех оставалось всё меньше.

В 1963 году, когда ему было всего десять лет, Эндрю Уайлс уже был очарован математикой. Когда он узнал о Великой теореме, то понял, что не сможет отступиться от неё. Школьником, студентом, аспирантом он готовил себя к этой задаче.

Узнав о выводах Кена Рибета, Уайлс с головой ушёл в доказательство гипотезы Таниямы–Симуры. Он решил работать в полной изоляции и секретности. «Я понимал, что всё, что имеет какое-то отношение к Великой теореме Ферма, вызывает слишком большой интерес… Слишком много зрителей заведомо мешают достижению цели». Семь лет упорной работы принесли плоды, Уайлс наконец завершил доказательство гипотезы Таниямы–Симуры.

В 1993 году английский математик Эндрю Уайлс представил миру свое доказательство Великой теоремы Ферма (Уайльс прочитал свой сенсационный доклад на конференции в Институте сэра Исаака Ньютона в Кембридже.) , работа над которым продолжалась более семи лет.

Пока в печати продолжалась шумиха, началась серьёзная работа по проверке доказательства. Каждый фрагмент доказательства должен быть тщательно изучен прежде, чем доказательство может быть признано строгим и точным. Уайлс провёл беспокойное лето в ожидании отзывов рецензентов, надеясь, что ему удастся получить их одобрение. В конце августа эксперты нашли недостаточно обоснованное суждение.

Оказалось, что данное решение содержит грубую ошибку, хотя в целом и верно. Уайлс не сдался, призвал на помощь известного специалиста в теории чисел Ричарда Тейлора, и уже в 1994 году они опубликовали исправленное и дополненное доказательство теоремы. Самое удивительное, что эта работа заняла целых 130 (!) полос в математическом журнале «Annals of Mathematics». Но и на этом история не закончилась — последняя точка была поставлена только в следующем, 1995 году, когда в свет вышел окончательный и «идеальный», с математической точки зрения, вариант доказательства.

«…через полминуты после начала праздничного обеда по случаю её дня рождения, я подарил Наде рукопись полного доказательства» (Эндрю Уальс). Я ещё не говорил, что математики странные люди?

На этот раз никаких сомнений в доказательстве не было. Две статьи были подвергнуты самому тщательному анализу и в мае 1995 года были опубликованы в журнале «Annals of Mathematics».

С того момента прошло немало времени, однако в обществе до сих пор бытует мнение о неразрешимости Великой теоремы Ферма. Но даже те, кто знает о найденном доказательстве, продолжают работу в этом направлении — мало кого устраивает, что Великая теорема требует решения в 130 страниц!

Поэтому сейчас силы очень многих математиков (в основном это любители, а не профессиональные ученые) брошены на поиски простого и лаконичного доказательства, однако этот путь, скорее всего, не приведет никуда...

Судя по популярности запроса "теорема Ферма - краткое доказательство", эта математическая проблема действительно многих интересует. Эта теорема была впервые высказана Пьером де Ферма в 1637 году на краю копии "Арифметики", где он утверждал, что у него было ее решение, оно было слишком велико для того, чтобы поместиться на краю.

Первое успешное доказательство было опубликовано в 1995 году - это было полное доказательство теоремы Ферма, осуществленное Эндрю Уайлсом. Оно было описано как «ошеломляющий прогресс», и привело Уайлса к получению премии Абеля в 2016 году. Будучи описанным относительно кратко, доказательство теоремы Ферма также доказало большую часть теоремы модульности и открыло новые подходы к многочисленным другим проблемам и эффективным методам подъема модульности. Эти свершения продвинули математику на 100 лет вперед. Доказательство малой теоремы Ферма сегодня не является чем-то из ряда вон выходящим.

Неразрешенная проблема стимулировала развитие алгебраической теории чисел в XIX веке и поиск доказательства теоремы модульности в XX веке. Это одна из самых заметных теорем в истории математики и до полного доказательства великой теоремы Ферма методом деления она была в Книге рекордов Гиннеса как «самая сложная математическая проблема», одной из особенностей которой является то, что она имеет наибольшее количество неудачных доказательств.

Историческая справка

Пифагорейское уравнение x 2 + y 2 = z 2 имеет бесконечное число положительных целочисленных решений для x, y и z. Эти решения известны как троицы Пифагора. Примерно в 1637 году Ферма написал на краю книги, что более общее уравнение a n + b n = c n не имеет решений в натуральных числах, если n является целым числом, большим чем 2. Хотя сам Ферма утверждал, что имеет решение своей задачи, он не оставил никаких подробностей о ее доказательстве. Элементарное доказательство теоремы Ферма, заявленное ее создателем, скорее было его хвастливой выдумкой. Книга великого французского математика была обнаружена спустя 30 лет после его смерти. Это уравнение, получившее название «Последняя теорема Ферма», в течение трех с половиной столетий оставалось нерешенным в математике.

Теорема в конечном итоге стала одной из самых заметных нерешенных проблем математики. Попытки доказать это вызвали существенное развитие теории чисел, и с течением времени последняя теорема Ферма получила известность как нерешенная проблема математики.

Краткая история доказательств

Если n = 4, что доказано самим Ферма, достаточно доказать теорему для индексов n, которые являются простыми числами. В течение следующих двух столетий (1637-1839) гипотеза была доказана только для простых чисел 3, 5 и 7, хотя Софи Жермен обновляла и доказывала подход, который имел отношение ко всему классу простых чисел. В середине 19 века Эрнст Куммер расширил это и доказал теорему для всех правильных простых чисел, в результате чего нерегулярные простые числа анализировались индивидуально. Основываясь на работе Куммера и, используя сложные компьютерные исследования, другие математики смогли расширить решение теоремы, имея цель охватить все основные показатели до четырех миллионов, но док-во для всех экспонентов по-прежнему было недоступным (это означает, что математики обычно считали решение теоремы невозможным, чрезвычайно сложным, или недостижимым с современными знаниями).

Работа Шимуры и Таниямы

В 1955 году японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма подозревали, что существует связь между эллиптическими кривыми и модульными формами, двумя совершенно разными областями математики. Известная в то время, как гипотеза Танияма-Шимура-Вейля и (в конечном счете) как теорема модульности, она существовала сама по себе, без видимой связи с последней теоремой Ферма. Она сама по себе широко рассматривалась как важная математическая теорема, но при этом считалась (как и теорема Ферма) невозможной для доказательства. В то же время доказательство великой теоремы Ферма (методом деления и применения сложных математических формул) было осуществлено лишь полвека спустя.

В 1984 году Герхард Фрей заметил очевидную связь между этими двумя ранее не связанными и нерешенными проблемами. Полное подтверждение того, что две теоремы были тесно связаны, было опубликовано в 1986 году Кеном Рибетом, который основывался на частичном доказательстве Жана-Пьера Серра, который доказал все, кроме одной части, известной как «гипотеза эпсилона». Проще говоря, эти работы Фрея, Серра и Рибе показали, что если бы теорема о модульности могла быть доказана, по крайней мере, для полустабильного класса эллиптических кривых, то и доказательство последней теоремы Ферма также рано или поздно будет открыто. Любое решение, которое может противоречить последней теореме Ферма, может также использоваться, чтобы противоречить теореме модульности. Поэтому, если теорема о модульности оказалась истинной, то по определению не может существовать решение, противоречащее последней теореме Ферма, а значит она вскоре должна была быть доказана.

Хотя обе теоремы были сложными проблемами для математики, считающимися нерешаемыми, работа двух японцев стала первым предположением о том, как последняя теорема Ферма могла бы быть продолжена и доказана для всех чисел, а не только для некоторых. Важным для исследователей, выбравших тему исследования, был тот факт, что в отличие от последней теоремы Ферма, теорема модульности была основной активной областью исследований, для которой было разработано доказательство, а не только исторической странностью, поэтому время, затраченное на ее работу, могло быть оправдано с профессиональной точки зрения. Однако общее мнение заключалось в том, что решение гипотезы Таниямы-Шимуры оказалось нецелесообразным.

Великая теорема Ферма: доказательство Уайлса

Узнав, что Рибет доказал правильность теории Фрея, английский математик Эндрю Уайлс, с детства интересующийся последней теоремой Ферма и имеющий опыт работы с эллиптическими кривыми и смежными областями, решил попытаться доказать гипотезу Таниямы-Шимуры, как способ доказать последнюю теорему Ферма. В 1993 году, спустя шесть лет после объявления о своей цели, тайно работая над проблемой решения теоремы, Уайльсу удалось доказать смежную гипотезу, что, в свою очередь, помогло бы ему доказать последнюю теорему Ферма. Документ Уайлса был огромным по размеру и масштабу.

Недостаток был обнаружен в одной части его оригинальной статьи во время рецензирования и потребовал еще один год сотрудничества с Ричардом Тейлором, чтобы совместно решить теорему. В результате окончательное доказательство Уайлсом великой теоремы Ферма не заставило долго себя ждать. В 1995 году оно было опубликовано в куда меньшем масштабе, чем предыдущая математическая работа Уайлса, наглядно показывая, он не ошибся в своих предыдущих выводах о возможности доказательства теоремы. Достижение Уайлса было широко растиражировано в популярной прессе и популяризировано в книгах и телевизионных программах. Остальные части гипотезы Танияма-Шимура-Вейля, которые теперь были доказаны и известны как теорема о модульности, впоследствии были доказаны другими математиками, которые основывались на работе Уайлса в период между 1996 и 2001 годами. За свое достижение Уайлс был удостоен чести и получил многочисленные награды, в том числе, премию Абеля 2016 года.

Доказательство Уайлсом последней теоремы Ферма является частным случаем решения теоремы модульности для эллиптических кривых. Тем не менее, это самый известный случай столь масштабной математической операции. Вместе с решением теоремы Рибе, британский математик также получил доказательство последней теоремы Ферма. Последняя теорема Ферма и теорема о модульности почти повсеместно считались недоказуемыми современными математиками, но Эндрю Уайлс смог доказать всему научному миру, что даже ученые мужи способны заблуждаться.

Уайлс впервые объявил о своем открытии в среду 23 июня 1993 года на лекции в Кембридже под названием «Модульные формы, эллиптические кривые и представления Галуа». Однако в сентябре 1993 года было установлено, что его расчеты содержат ошибку. Год спустя, 19 сентября 1994 года, в том, что он назвал бы «самым важным моментом его трудовой жизни», Уайлс наткнулся на откровение, которое позволило ему исправить решение задачи до того уровня, когда оно сможет удовлетворить математическое сообщество.

Характеристика работы

Доказательство теоремы Ферма Эндрю Уайлсом использует многие методы из алгебраической геометрии и теории чисел и имеет много разветвлений в этих областях математики. Он также использует стандартные конструкции современной алгебраической геометрии, такие как категория схем и теория Ивасавы, а также другие методы XX века, которые не были доступны Пьеру Ферма.

Две статьи, содержащие доказательства, составляют 129 страниц, которые писались в течение семи лет. Джон Коутс описал это открытие как одно из величайших достижений теории чисел, а Джон Конвей назвал его главным математическим свершением 20 века. Уайлс, чтобы доказать последнюю теорему Ферма путем доказательства теоремы модульности для частного случая полустабильных эллиптических кривых, разработал действенные методы подъема модульности и открыл новые подходы к многочисленным другим проблемам. За решение последней теоремы Ферма он был посвящен в рыцари и получил другие награды. Когда стало известно, что Уайлс выиграл премию Абеля, Норвежская академия наук описала его достижение как «восхитительное и элементарное доказательство последней теоремы Ферма».

Как это было

Одним из людей, анализировавших первоначальную рукопись Уайлса с решением теоремы, был Ник Кац. В ходе своего обзора он задал британцу ряд уточняющих вопросов, которые заставили Уайлса признать, что его работа явно содержит пробел. В одной критической части доказательства была допущена ошибка, которая давала оценку для порядка конкретной группы: система Эйлера, используемая для расширения метода Колывагина и Флача, была неполной. Ошибка, однако, не сделала его работу бесполезной - каждая часть работы Уайлса была очень значительной и новаторской сама по себе, как и многие разработки и методы, которые он создал в ходе своей работы и которые затрагивали лишь одну часть рукописи. Тем не менее в этой первоначальной работе, опубликованной в 1993 году, действительно не было доказательства великой теоремы Ферма.

Уайлс провел почти год, пытаясь заново найти решение теоремы - сперва в одиночку, а затем в сотрудничестве со своим бывшим учеником Ричардом Тейлором, но все, казалось, было тщетным. К концу 1993 года распространились слухи, что при проверке доказательство Уайльса потерпело неудачу, но насколько серьезной была эта неудача, известно не было. Математики начали оказывать давление на Уайлса, чтобы он раскрыл детали своей работы, независимо от того, была она выполнена или нет, чтобы более широкое сообщество математиков могло исследовать и использовать все, чего ему удалось добиться. Вместо того, чтобы быстро исправить свою ошибку, Уайлс лишь обнаружил дополнительные сложные аспекты в доказательстве великой теоремы Ферма, и наконец-то осознал, насколько сложной она является.

Уайлс заявляет, что утром 19 сентября 1994 года он был на грани того, чтобы бросить все и сдаться, и почти смирился с тем, что потерпел неудачу. Он готов был опубликовать свою неоконченную работу, чтобы другие могли на ней основываться и найти, в чем он ошибся. Английский математик решил дать себе последний шанс и в последний раз проанализировал теорему, чтобы попытаться понять основные причины, по которым его подход не работал, как вдруг внезапно осознал, что подход Колывагина-Флака не будет работать, пока он не подключит к процессу доказательства еще и теорию Ивасавы, заставив ее работать.

6 октября Уайлс попросил трех коллег (включая Фалтинса) рассмотреть его новую работу, а 24 октября 1994 г. он представил две рукописи - «Модульные эллиптические кривые и последняя теорема Ферма» и «Теоретические свойства кольца некоторых Гекке-алгебр», вторую из которых Уайлс написал совместно с Тейлором и доказал, что были выполнены определенные условия, необходимые для оправдания исправленного шага в основной статье.

Эти две статьи были проверены и, наконец, опубликованы в качестве полнотекстового издания в журнале «Анналы математики» за май 1995 года. Новые расчеты Эндрю были широко проанализированы и научное сообщество в конце концов их признало. В этих работах была установлена теорема модульности для полустабильных эллиптических кривых - последний шаг к доказательству великой теоремы Ферма, спустя 358 лет после того, как она была создана.

История великой проблемы

Решение этой теоремы считалось самой большой проблемой в математике на протяжении многих столетий. В 1816 и в 1850 годах Французская академия наук предложила приз за общее доказательство великой теоремы Ферма. В 1857 году Академия присудила 3000 франков и золотую медаль Куммеру за исследования идеальных чисел, хотя он и не подавал заявку на приз. Еще одна премия была предложена ему в 1883 году Брюссельской академией.

Премия Вольфскеля

В 1908 году немецкий промышленник и математик-любитель Пауль Вольфскель завещал 100 000 золотых марок (большую сумму для того времени) Академии наук Геттингена, чтобы эти деньги стали призом за полное доказательство великой теоремы Ферма. 27 июня 1908 года Академия опубликовала девять правил награждения. Среди прочего, эти правила требовали опубликования доказательства в рецензируемом журнале. Приз должен был присуждаться лишь через два года после публикации. Срок конкурса должен был истечь 13 сентября 2007 - примерно через столетие после своего начала. 27 июня 1997 года Уайлс получил призовые деньги Вольфсхеля, а затем еще 50 000 долларов. В марте 2016 года он получил 600 000 евро от правительства Норвегии в рамках премии Абеля за «потрясающее доказательство последней теоремы Ферма с помощью гипотезы модульности для полустабильных эллиптических кривых, открывающей новую эру в теории чисел». Это был мировой триумф скромного англичанина.

До доказательства Уайлса теорема Ферма, как уже говорилось ранее, считалась абсолютно нерешаемой на протяжении целых столетий. Тысячи неверных доказательств в разное время были представлены комитету Вольфскеля, составив примерно 10 футов (3 метра) корреспонденции. Только в первый год существования премии (1907-1908) было подано 621 заявок с претензией на решение теоремы, хотя к 1970-м годам их количество уменьшилось примерно до 3-4 заявок в месяц. По мнению Ф. Шлихтинга, рецензента Вольфсхеля, большинство доказательств были основаны на элементарных методах, преподаваемых в школах, и часто представлялись «людьми с техническим образованием, но неудачной карьерой». По словам историка математики Говарда Эйвса, последняя теорема Ферма установила своеобразный рекорд - это теорема, набравшая наибольшее количество неверных доказательств.

Лавры Ферма достались японцам

Как уже говорилось ранее, примерно в 1955 году японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма открыли возможную связь между двумя, по-видимому, совершенно разными отраслями математики - эллиптическими кривыми и модульными формами. Полученная в результате их исследований теорема модульности (в то время известная как гипотеза Таниямы-Шимуры) гласит, что каждая эллиптическая кривая является модулярной, что означает, что она может быть связана с уникальной модулярной формой.

Теория первоначально была отклонена как маловероятная или весьма спекулятивная, но была воспринята более серьезно, когда теоретик чисел Андре Вейль нашел доказательства, подтверждающие выводы японцев. В результате гипотеза часто называлась гипотезой Таниямы-Шимуры-Вейля. Она стала частью программы Langlands, представляющей собой список важных гипотез, требующих доказательства в будущем.

Даже после серьезного внимания, гипотеза была признана современными математиками как чрезвычайно трудная или, возможно, недоступная для доказательства. Теперь именно эта теорема ждет своего Эндрю Уайлса, который смог бы удивить весь мир ее решением.

Теорема Ферма: доказательство Перельмана

Не смотря на расхожий миф, российский математик Григорий Перельман, при всей своей гениальности, не имеет никакого отношения к теореме Ферма. Что, впрочем, никак не умаляет его многочисленных заслуг перед научным сообществом.